 |
|
عدد
فهرست مندرجات
◉ واژه‌شناسی
◉ پیشینه‌ی تاریخی
◉ دسته‌بندی اعداد
◉ شیوه‌ی نگارش اعداد
◉ يادداشت‌ها
◉ پيوست‌ها
◉ پی‌نوشت‌ها
◉ جُستارهای وابسته
◉ سرچشمه‌ها
◉ پيوند به بيرون
.
علوم پایه ریاضی
عدد یا شماره (به انگلیسی: Number، با تلفظ آمریکایی: Number)، یکی از مفاهیم پایه‌ی ریاضیات است. این مفهوم بسیار پیچیده و مورد بحث است و در گذشته بیش‌تر مورد کنکاش و تفکر قرار می‌گرفت؛ نقل است که افلاطون در بخشی از سفرهای خود با عقاید عجیب فیثاغورسیان از جمله این‌که «اعداد از اجسام فیزیکی پیرامون انسان هم واقعی ترند» آشنا شد. در حالی‌که عدد، با عمل انتزاع از شمارش اشيأ به‌دست می‌آيد. در آغاز شماره برای شمارش و اندازه‌گیری به کار می‌رفت ولی پسان‌تر (بعدها) ریاضیدانان مفهوم آن را پیش بردند و مفهوم شماره صفر، عدد منفی، عدد موهومی و عدد مختلط را نوآوری کردند.
| ▲ | واژه‌شناسی |
«عدد»، واژه‌ی عربی است و جمع آن «اعداد» است. این واژه، اسم و مشتق از «ع د د» است، که در لغت اغلب به‌معنای شماره و رقم و گاه به‌معنای شمارش تعداد یا به‌معنای معدود (شمرده و مقدار) است. واژه‌شناسان عدد را به یکی‌های ترکیب‌شده یا ترکیب آحاد تعریف کرده‌اند. عدد در اصطلاح فلسفه، از مقوله «کمّ» به‌حساب می‌آید که یکی از مقولات عشر است. برخی فلاسفه عدد را از مفاهیم ماهوی و بعضی آن را از مفاهیم اعتباری می‌دانند. ریاضیدانان اعداد را به حقیقی، صحیح، طبیعی، کسری، گویا، مخلوط، موهومی، مثبت، منفی و... تقسیم می‌کنند.
منشأ واژه‌ی Number در زبان انگلیسی، از صورت‌های: ،number ،nombre numbre و noumbre در انگلیسی میانه است که خود برگرفته از واژه‌ی noumbre از زبان انگلوفرانس است و این واژه هم ریشه در واژه‌ی nombre در زبان کهن فرانسه دارد که از واژه‌ی لاتین numerus مشتق شده است و این واژه‌ی لاتین نیز، برگرفته از nem- در زبان نیا-هندواروپایی است.
| ▲ | پیشینه‌ی تاریخی |
شمارش در تاریخ بشر پیشینه‌ای کهن دارد و بشر پیش از اختراع خط به آن آگاهی داشته است. انسان‌های نخستین برای نشان دادن اعداد و ارقام، خطوطی را رسم می‌کردند. تاریخ‌نگاران با توجه به اسناد تاریخی، بابلی‌ها را نخستین واضعان حساب و عدد می‌دانند؛ آنان با وضع حساب و عدد، سال را به ۱۲ ماه و ماه را به ۳۰ شبانه‌روز و شبانه‌روز را به ساعات، دقایق و ثانیه‌ها تقسیم کردند و عدد را تا ۶۰ به توان ۴ می‌شمردند. تقسیمات شمارشی آن‌ها شصت شصت بوده که در اصطلاح «حساب ستّینی» نامیده می‌شود. با این حال، نوشته‌های قدیمی ریاضی، کم‌وبیش تا سده‌ی هیجدهم، اختراع عدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی یا فیثاغورس حکیم، نابغه‌ی یونان باستان نسبت می‌دادند. از جمله ماگنیتسکی، نویسنده‌ی نخستین کتاب‌های درسی در روسیه، در کتاب خود به‌نام حساب از فیثاغورس به‌عنوان مخترع و پایه‌گذار این دانش نام می‌برد.
در باور مذهبی مسلمانان، اعداد و مسمیات آن‌ها و ارقام و مدلولات‌شان از علم اسمأ است که خدا به آدم آموخت.: «و عَلَّمَ ءادَمَ الاَسماءَ کُلَّها». در اسطوره‌های یونان باستان، اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است.
در آغاز، مفهوم عدد بسیار محدود بود. حتی اعداد را تا ۲ بیش‌تر نمی‌توانستند بشمارند. نخستین اعدادی که انسان در جایی نگاشته اعداد صحیح مثبت مثل یک، دو، سه و... بوده. پیش از ابداع عدد صفر ریاضیات توان پیشرفت چندانی نداشت و این ریاضیدانان هندی بودند که در حدود سده‌ی هفتم میلادی به استفاده از عدد صفر سامان بخشیدند و موجب رواج آن شدند. برای عدد، مرزی برای شمار داشتند. برای نمونه، زمانی در بسیاری جاها، مرز شمار، عدد ۶ بود. تا ۶ می‌شمردند و پس از آن را «بسیار» می‌گفتند. در زبان روسی نیز ضرب‌المثلی به این مفهوم وجود دارد که «هفت نفر منتظر یک نفر نمی‌مانند»، که بازهم منظور این است که تعداد زیادی منتظر یک نفر نمی‌مانند. هم‌چنین در داستان‌ها، وقتی از پادشاهی صحبت می‌شود که در قصری است که هفت برج و بارو دارد، یا هفت دریا، هفت سرزمین، هفت آسمان و... همه جا «هفت» به‌معنای بسیار به کار رفته است.
◼ پیشاتاریخ (Pre-history): اولین روش شمارش، در دوره‌ی پیش از تاریخ، شاید روش انگشت‌شماری بوده باشد. از آن‌جا که هر دست یا پا پنج انگشت دارد، انسان‌های اولیه، اغلب چیزها را به‌یاری انگشتان دست و پا می‌شمردند. سپس، این شمارش، به‌صورت نماد در آمد و آن را بر روی استخوان یا چیزهای دیگر، به شکل شیار خط‌کشی می‌کردند. در کاوش‌های باستان‌شناسی، استخوان‌ها و تکه‌چوب‌هایی بسیار قدیمی یافت شده که روی آن‌ها شیارهایی وجود دارد. دانشمندان معتقدند این شیارها نماد نخستین استفاده‌ی بشر از اعداد هستند و می‌تواند نشانگر تعداد روزهای سپری‌شده یا شمار دام‌های بشر اولیه باشد. این سیستم نمایش اعداد که «سیستم چوب‌خط» (Tally marks) نامیده می‌شود (مثل خطوطی که زندانیان برای روزهای سپری‌شده در زندان روی دیوار می‌کشند)، دارای مفهوم «ارزش مکانی» نیست (مثل جایگاه دهگان، صدگان، هزارگان در سیستم با مبنای ده) و به‌همین خاطر دارای محدودیت نمایش اعداد بزرگ است. با این وجود، سیستم چوب‌خط به‌عنوان قدیمی‌ترین سیستم نمایش اعداد شناخته می‌شوند.
◼ عهد باستان (Ancient period): کهن‌ترین سیستم نمایش اعداد ریاضی که دارای مفهوم ارزش مکانی‌ست، سیستم نمایش اعداد با مبنای شصت است که به بابلیان در ۳۴۰۰ سال پیش از میلاد نسبت داده می‌شود. هم‌چنین قدیمی‌ترین سیستم نمایش اعداد ریاضی با مبنای ده (مثل اعداد امروزی) به مصریان در ۳۱۰۰ سال قبل از میلاد باز می‌گردد.
۱۰۰۰ پیش از میلاد، مصریان از کسرهای ساده (Simple fractions) استفاده می‌کردند. در «شولبا سوتراس» (Sulba Sutras) کتاب ودا، در حدود ۶۰۰ پیش از میلاد، نخستین‌بار اعداد گنگ (Irrational numbers) به‌کار رفته است؛ هرچند ادعا می‌شود که شاید اولین عدد گنگی که بشر کشف کرد، ریشه دوم یا جذر ۲ () بوده باشد. کشف این عدد منتسب به فیثاغورثیان (شاگردان فیثاغورس) است و گفته می‌شود در رقابت‌های علمی که در آن زمان بین گروه‌های مختلف در جریان بود این عدد نقش یک برگ برنده بزرگ را برای فیثاغورثیان ایفا می‌کرده است.
◼ قرون اوسطا (Middle Ages):
◼ دوره‌ی مدرن (Modern period):
| ▲ | دسته‌بندی اعداد |
شماره‌ها به مجموعه‌ها دسته‌بندی شده‌اند که دستگاه‌های شمارش یا دستگاه‌های اعداد (Numeral systems یا Number systems) نامیده می‌شوند. مهم‌ترین این مجموعه‌ها عبارت‌اند از: مجموعه‌ی عددهای طبیعی (Natural numbers)، مجموعه‌ی عددهای صحیح (Integers)، مجموعه‌ی عددهای گویا (Rational numbers)، مجموعه‌ی عددهای حقیقی (Real numbers)، مجموعه‌ی عددهای مختلط (Complex numbers).
◼ اعداد طبیعی (Natural number): عددهای هستند که برای شمارش اعداد صحیح مثبت به‌کار می‌روند. در ریاضیات، مجموعه‌ی اعداد طبیعی (شمار نهادی) را با نماد N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه‌ی انگلیسی Natural، به‌معنای طبیعی، گرفته شده است. مجموعه‌ی اعداد طبیعی دارای بی‌نهایت عضو می‌باشد. بنابراین، این مجموعه عبارتند از: ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹، ... در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه‌ی اعداد حسابی ۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ... به‌وجود می‌آید و به‌صورت W نشان داده می‌شود. در حقیقت W حرف اول کلمه انگلیسی Whole به‌معنای کامل است. به اعداد حسابی اعداد صحیح نامنفی هم گفته می‌شود.
- اعداد اول و اعداد مرکب (Prime and Composite numbers): اعداد اول، عددهای طبیعی بزرگ‌تر از ۱ هستند که بر هیچ عددی به‌جز خود و ۱ بخش‌پذیر نباشند؛ مانند: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳ و ... در این میان، همه اعداد اول فرد هستند به‌جز عدد ۲ که زوج است.
اعداد مرکب، عددهای طبیعی هستند، که از حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک حاصل می‌شود. به‌عبارت دیگر، این اعداد، عددهای طبیعی به‌جز یک هستند که اول نباشد؛ مانند: ۴، ۶، ۸، ۹، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۵، ۱۶، ۱۸، ۲۰، ۲۱، ۲۲، ۲۴ و ۲۵.
در بین اعداد طبیعی، تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد اول و اعداد مرکب قرار نمی‌گیرد. بنابراین، عدد ۱، فقط عددی است که نه اول و نه مرکب است.
◼ عددهای صحیح (Integers): مجموعه‌ی عددهای صحیح یا عددهای، درست به مجموعه‌ی اعداد طبیعی، قرینه‌ی اعداد طبیعی (یا اعداد متناظر منفی اعداد طبیعی)، و صفر (۰) (مجموعه‌ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می‌شود. به عبارت دیگر، این مجموعه شامل اعداد صحیح مثبت، صفر و اعداد صحیح منفی (اعداد علامت‌دار) است. مانند: +∞ ... -۳ -۲ -۱ ۰ +۱ +۲ +۳ ... -∞
در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با نماد Z (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به‌معنای اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعه‌ی اعداد طبیعی، مجموعه‌ی اعداد صحیح نیز یک مجموعه‌ی نامتناهی (Infinite set) است.
◼ اعداد گویا (Rational numbers): یک عدد گویا به یک عدد کسری مثبت یا منفی گفته می‌شود که مخرجش صفر نباشد. به سخن دیگر، اعداد نسبی یا گویا کسرهایی هستند که از تقسیم عدد صحیح بر عدد صحیح به‌جز صفر پدید آمده باشد. مجموعه تمام اعداد گویا معمولاً با حرف Q نمایش داده می‌شود. علامت + یا - کسر می‌تواند در پشت صورت یا پشت مخرج و یا پشت خط کسری قرار گیرد. کسری که صورتش صفر و مخرجش عدد باشد همان صفر است و متعلق به اعداد گویا است. کسری که صورتش عدد و مخرجش صفر باشد در ریاضی نامعین و تعریف‌نشده است. مجموعه‌ی اعداد طبیعی و حسابی و صحیح همگی زیر مجموعه‌ی اعداد گویا هستند. هم‌چنین، تمام اعداد اعشاری و مخلوط و کسری و توندار و رادیکال‌های کامل همگی عدد گویا هستند. در ریاضیات اگر عددی گویا نباشد یعنی نمی‌توان آن را به‌صورت یک کسر معنادار نوشت که در این صورت به آن‌ها اعداد گنگ یا اصم گفته می‌شود.
◼ اعداد گنگ (Irrational numbers): اعداد گنگ یا غیرنسبی یا اصم یا متناوب اعدادی هستند که به‌هیچ‌وجه به یک عدد کسری معنادار تبدیل نمی‌شوند چرا که این اعداد پایان و انتهایی ندارند و همواره در حال تولید و تکرار اعداد می‌باشند پس نمی‌توانند در یک‌جا به‌صورت کسری نوشته شوند.
◼ اعداد حقیقی (Real numbers): مجموعه‌ی همه‌ی اعداد گویا و اعداد گنگ با یک‌دیگر را در دستگاه اعداد، اعداد حقیقی می‌گویند، که با حرف R نمایانده می‌شود. عدد حقیقی یا مثبت است یا منفی و یا صفر، و هر عدد حقیقی را می‌توان در یکی از ردوه‌های گویا یا گنگ جای داد. آن اعداد حقیقی که گویا نباشد، اعداد گنگ خوانده می‌شوند و این اعداد عبارت‌اند از اعداد اعشاری بی‌پایان و بدون جز تکرای، مثبت یا منفی.
◼ اعداد مختلط (Complex numbers):
| ▲ | شیوه‌ی نگارش اعداد |
طریقه نوشتن اعداد در فارسی، به‌شکل عددنویسی عربی است. هرچند کشورهای عربی تقریباً در ۵۰ سال گذشته مدل نوشتن اعداد به‌سبک غربی و انگلیسی را بیش‌تر به‌کار می‌برند، ولی در واقع، نوشتن اعداد به‌صورت انگلسیی تکامل‌یافته‌ی اعداد به‌سبک عربی است. دستگاه اعداد عربی بر مبنای ۱۰ رقم ۰-۱-۲-۳-۴-۵-۶-۷-۸-۹ می‌باشد. این دستگاه اعداد توسط ریاضیدانان هندی به‌وجود آمده بود و در هند توسط ریاضیدانان مسلمان خراسانی، مانند محمد بن موسی خوارزمی پذیرفته شد و در بغداد توسعه و بسط یافت و پس از فتح اندلس توسط اروپاییان و دسترسی آنان به کتاب‌های مسلمانان دست یافتند و آن‌ها را به زبان خود ترجمه و به کشورهای اروپایی منتقل کردند. این دستگاه در سده‌های میانه یا قرون وسطی وارد اروپا گردید. اروپاییان پیش از حدود قرن ۱۶ میلادی، از سامانه‌ی عددنویسی رومی (I II III IV VI ...) استفاده می‌کردند که نوشتن اعداد چند رقمی بزرگ با آن کار سختی بود، پس از آن نوشتن اعداد به سبک عربی-هندی را به‌کار گرفتند و آن‌را بهبود بخشیدند. دستگاه شمارش عربی رفته رفته توسط بازرگانان، کتاب‌ها و استعمارگران اروپایی در سرتاسر جهان منتشر شد. این دستگاه امروزه دستگاه غالب عددی در دنیا به‌شمار می‌آید.
[▲] يادداشت‌ها
[▲] پيوست‌ها
...
[▲] پی‌نوشت‌ها
...
لسان‌العرب، ج ۹، ص ۷۶؛ تاج العروس، ج ۵، صص ۹۴-۹۵، «عدّ».
قاموس قرآن، ج ۴، ص ۲۹۹، «عدد»؛ فرهنگ الرائد، ج ۲، ص ۱۱۷۰؛ فرهنگ معاصر، ص ۴۰۳، «عد».
مفردات، ص ۵۵۰، «عد».
الشفا، صص ۱۰۳-۱۰۵، ۱۱۲-۱۱۵.
آموزش فلسفه، ج ۲، ص ۱۸۳.
فرهنگ بزرگ سخن، ج ۵، صص ۴۹-۷۹، «عدد».
c. 1300, “sum, aggregate of a collection,” from Anglo-French noumbre, Old French nombre and directly from Latin numerus “a number, quantity,” from PIE root *nem- “assign, allot; take.” Meaning “symbol or figure of arithmetic value” is from late 14c. Meaning “single (numbered) issue of a magazine” is from 1795. Meaning “dialing combination to reach a particular telephone receiver” is from 1879; hence wrong number (1886). The modern meaning "musical selection” (1885) is from vaudeville theater programs, where acts were marked by a number. Earlier numbers meant “Harmony; proportion calculated by number,” and “Verses, poetry” [Johnson].اعلام قرآن، ص ۲۴۴؛ موسوعة المورد، ج ۱، ص ۹۹.
Number one “oneself” is from 1704 (mock-Italian form numero uno attested from 1973); the biblical Book of Numbers (c. 1400, Latin Numeri, Greek Arithmoi) so called because it begins with a census of the Israelites. Slang number one and number two for “urination” and “defecation” attested from 1902. Number cruncher is 1966, of machines; 1971, of persons. To get or have (someone's) number “have someone figured out” is attested from 1853. The numbers “illegal lottery” is from 1897, American English.
معجزة الارقام والترقیم، ص ۵۷.
سوره بقره، آیه‌ی ۳۱.
برای بودن و یا نبودن عدد صفر در مجموعه اعداد طبیعی دو تعریف موجود است: در تعریف اول طبق استاندارد ISO 80000-2 عدد صفر با عنوان اعداد صحیح غیرمنفی پذیرفته شده است. هم‌چنین پروفسور Serge Lang، در کتاب Basic Mathematics می‌نویسد: For convenience, it is useful to have a name for the positive integers together with zero, and we shall call these the natural numbers. Thus 0 is a natural number, so is 2, and si is 124,521. رجوع شود به: Lang, Serge, Basic Mathematics, Addison-Wesley: c 1971. p. 5.ولی در تعریف دیگر صفر به‌عنوان یک عضو شناخته نمی‌شود و با اضافه‌کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به‌وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.
[▲] جُستارهای وابسته
□
□
□
[▲] سرچشمه‌ها
□
□
□
□
[▲] پيوند به بیرون
□ [۱ ٢ ٣ ۴ ۵ ٦ ٧ ٨ ٩ ۱٠ ۱۱ ۱٢ ۱٣ ۱۴ ۱۵ ۱٦ ۱٧ ۱٨ ۱۹ ٢٠]
رده‌ها │ ...
